彭加勒不该对研究病态函数进行指责

十九世纪下半叶,人们先后发现了许多希奇古怪的函数。1854年,狄利克雷提出了一个在无理点取0,在有理点取1的函数,它是非黎曼可积的。1860年Z.Zellerrer和1872年魏尔斯特拉斯先后各自提出了一个处处连续而又处处不可导的函数。1875年,达布又证明了有无穷多个间断点的函数也可以积分,只要这些间断点能包含在长度可以任意小的有限个区间内即可。1887年,沃尔特拉作出了一个可导函数,它的导函数是有界的但却不是黎曼可积的,这又大大限制了微积分基本定理的适用范围。这些函数的数学性质与人们期望的相去甚远,而且也极大地破坏了古典数学的完美,因此被人们称为病态函数。
当时人们认为这些函数是脱离实际的,完全没有必要研究。大数学家彭加勒(H.Poincar'e,1854—1912)说:“过去人们为了一个实际的目的而创造一个新的函数;今天人们为了说明先辈在推理方面的不足而故意造出这些函数来。而从这些函数所能推出来的也就是仅此而已。”“它们被弄得愈来愈不象那些能解决问题的真正函数。”事实证明是彭加勒错了。法国数学家勒贝格创立的勒贝格积分就是在对病态函数研究的基础上提出的,它导致了积分学的一场革命,直接导致了实变函数论的产生,而且在概率论、谱理论、泛函分析、热学、统计力学和控制论中有广泛而深刻的应用。
数学的这段历史表明,当科学家对某一研究对象还不甚理解时,最好不要急于表态反对一气,那不仅害人也害己。

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