指用逻辑方
法来判断数学命题真实性的技能。它
是数学中最重要的技能之一。

数学证明技能训练的基本要求
是:①懂得数学证明过程往往表现为
一系列的推理(参见“数学推理的技
能”),其依据(论据)是本论题的题设、
已建立的概念、公理和已证明了的真
实命题。②能熟练掌握和运用形式逻
辑的基本规律:同一律(在给定的一个
思维过程中,使用的概念和判断必须
保持同一),矛盾律(在同一个思维过
程中对于同一对象的两个互相矛盾或
互相反对的判断中至少有一个是错误
的),排中律(在同一论证过程中,对同
一对象的两个矛盾判断中必有一个是
真的),充足理由律(任何判断都必须
有充足的理由才被认为是真的)。③熟
练掌握直接证法:由论题的题设,根据
已知的定义、公理、定理,经过一系列
推理,直接得出结论。它是数学证明大
多采用的方法。懂得直接证法分综合
法(由因导果),分析法(执果索因),逆
证法(要证“若A则D”,先证明了“若
D则A”,再说明每一步推理都可逆,
而得“若A则D”。)并懂得它们的特
点,弱点和作用。综合法简捷,逻辑关
系表现得清楚,但在数学教学中有它
的弱点,每一步在做什么,怎样做,不
那么容易看清楚,而每一步怎么想到
的更容易使人困惑,尤其困难的是如
何找出作为论证出发点的真命题。用
分析法时,要证的命题本身就是出发
点,而且思路自然,学生能够自己主动
进行思考,但思路的逆向使得表述困
难。最好把两者结合使用,先用分析法
思考,寻求解法,然后用综合法表述,
加以证明。对一些比较复杂的问题,要
会用“两头凑”的办法,从已知条件出
发,看可以得出什么结果,从要证明的
结论开始寻求,看它的成立需要哪些
条件,两方面的差距在哪里,从而找出
正确的证题途径。而逆证法具有明显
的局限性,它只能用于证明题设和题
断互为充要条件的特殊命题。④掌握
间接证法:证明某个与要证的命题逻
辑等价的命题为真,而得出结论。懂得
间接证法分反证法和同一法。要熟练
掌握反证法:它是从题断的反面出发,
以有关的定义、公理、定理为前提,结
合题设,通过推理而得逻辑矛盾。它的
主要逻辑基础是排中律。当原论题结
论的矛盾方面不止一种情况时,要全
部列举出,一一否定(穷举归谬)。同一
法是对符合同一法则的论题,不证明
原论题为真,而先证其逆命题为真,再
说明原论题结论中所指的对象与条件
中所指的对象都唯一存在,从而是同
一对象,得原论题为真。同一法的证明
很容易改为反证法的叙述方法,故同
一法可看成反证法的特殊情况(找的
逻辑矛盾是与该对象的唯一性矛盾)。
⑤在进行数学证明时,应首先考虑直
接证法。当直接证法不易证明,甚至不
能证明时,就必须考虑反证法。



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