画函数图象的技能

指根据对函数 性质的分析,找出图象上控制形状的 关键点,比较简便、迅速、准确地用描 点法画出函数图象的技能。它在用数 形结合的方法直观、形象地研究函数 的变化规律中有重要作用,并有很大 实际价值。
画函数图象技能训练的基本要求 和注意点是:①熟练确定函数的定义 域:使函数表达式有意义的自变量的 取值范围。②能熟练考察函数是否有 周期性,如有,只需先作出一个周期内 的图象,再重复出现。③熟练掌握函数 奇偶性(曲线对称性)的判别:如果函 数的定义域D是关于原点对称的,对 任意的x∈D,若都有f(-x)=-f (x),则为奇函数,图象关于坐标原点 对称;若都有f(-x)=f(x),则为偶函 数,图象关于y轴对称。对奇函数、偶 函数只要先作出图形的一半,然后据 对称性,得另一半。④能熟练用f′(x) 的符号确定函数的单调区间:用使f′ (x)=0的点(驻点)将定义域分成若 干区间,确定f′(x)在各区间上的符 号,当f′(x)>0时,函数递增,当f′(x) <0时,函数递减。⑤会确定函数的极 值:在驻点处,会用一阶导数在该点某 邻域内,左右两边是否变号及如何变 号来判别是否为极值点,以及是极大 值还是极小值,也会用该点二阶导数 的符号来判别。在导数不存在的点,会 用定义直接判别是否为极值点(参见 “求一元函数极值和最值的技能”)。⑥ 会用二阶导数确定曲线的凹向与拐 点:求出使f″(x)=0的点,用这些点 把定义域分为若干区间,确定各区间 上f″(x)的符号,若f″(x)>0,曲线向 上凹;若f″ (x)<0,曲线向下凹。确定 曲线不同凹向的分界点,即拐点。⑦会 将曲线单调区间、极值、凹向、拐点的 讨论列在一个表格中:用使f′(x)=0, f″(x)=0的点和导数不存在的点把定 义域分成若干区间,列出对y′,y″,y 的讨论结果。⑧会讨论与确定曲线的 渐近线:如果定义域是无穷区间,且有 [f(x)-(ax+b)]=0,直线y=ax+b 是曲线y=f(x)的一条斜渐近线。⑨ 会由函数再计算出曲线上一些点的坐 标:曲线与坐标轴的交点,以及为便于 描点作图而适当增加的点。⑩会描点 作图,如果y=f(x)是初等函数,那么 它在定义的区间上是连续的,在开区 间内的每一点可导,因此要描成光滑 曲线。

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