公理、定理、公式教学的技能
指在 课堂教学中进行体现教学目的,遵循 数学教学原则,符合学生认识规律的 公理、定理、公式教学的技能。它是数 学教学中最基本、最重要的技能之一, 对学生学好知识和培养能力都有重大 作用。
公理、定理、公式教学技能训练的 基本要求和注意点是:①公理教学,要 从学生熟知的具体事例或生活经验出 发,或自己探索,归纳出规律,使学生 理解公理的真实性,记住公理的内容 并与所指对象紧密联系起来。例如直 线的基本性质“经过两点有一条直线, 并且只有一条直线”的教学,要让学生 自己动手,在纸上实践,并让学生考虑 和尝试过三个点画直线(有时能画一 条,有时画不出),使学生明确深刻认 识“有且只有”的含义。公理的内容,先 让学生尝试总结,再加以明确。又如 “在所有连结两点的线中,线段最短” 这一公理的教学,要利用学生走路的 经验:走直路而不是弯路。②会用自 然、恰当的方法引入定理、公式、法则。 第一,会通过对具体事物观察,实验与 实践活动,作出猜想来引入。例如,通 过实验猜想出三角形内角和定理,又 如一元一次方程和它的解法一节中的 移项法则教学,要让学生自己在根据 同解原理解具体方程的过程中,感到 书写麻烦而产生潜在的简化愿望,再 启发他们“发现”规律。如,等腰三角形 性质定理的引入,要让学生对等腰三 角形纸片进行观察,初步猜想出两底 角相等的结论,进一步进行实验,将纸 片对折,更明确地看出这一结论。同时 从折痕还可引出等腰三角形顶角的平 分线,底边上的中线和高三线合一的 结论。第二,会通过归纳或类比,作出 猜想的办法引入定理、公式。例如用归 纳的方法猜想出多边形的内角和定 理,等差数列前n项和的公式、二项式 定理。第三,会通过演绎推理直接引 入。例如用演绎的办法推出“直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半”(这 样处理比较简单)。第四,会用由一个 已知命题制作它的逆命题或偏逆命题 的办法引入。例如由线段垂直平分线 的性质定理,让学生制作它的逆命题, 而引出判定。又如对于垂径定理“垂直 于弦的直径平分这条弦,并平分这条 弦所对的弧”,和学生一起制作偏逆命 题的办法引入它的几个推论。③会使 学生切实分清定理,公式的条件与结 论,会对关键词语加以分析,帮助学生 养成认真读题、审题的良好习惯。例如 “对顶角相等”中的条件、结论,“三角 形三个内角的和等于180°”中的条件。 ④要使学生弄清与定理、公式有关的 概念。例如,三角形外角平分线的性质 教学中,要特别强调“线段的外分点” 的概念。又如教学“同弧或等弧所对的 圆周角相等”,要特别强调“等弧”的概 念,它并非是长度相等的弧,而是“在 同圆或等圆中,能够互相重合的弧”。 ⑤在揭示定理、公式的证明之前,要安 排一定的直觉阶段,让学生有整个观 察和整体思考的过程。要尽可能提供 问题产生的背景,给出知识能力和科 学事实的准备,以诱发直觉。⑥会采用 分析法“执果索因”探索证明的途径, 为学生学习推理证明作出示范。当证 明比较复杂,步骤较多时,会一边分析 一边用规范的形式板书出分析的主要 步骤,使思路表现清晰,学生能得到要 领。⑦要尽可能让学生独立思考,体验 成功的愉快。凡学生自己容易解决的, 让学生自己去实践。即使是比较复杂 的证明,教师也不要包办代替,要会带 领学生一起活动,必要时让学生自己 思考并回答其中的某些步骤。⑧要善 于启发,一步步深入,不一下子给出答 案。要让学生“想”,带着学生“想”,当 学生想不出时给以适度“帮助”。不要 “帮助”太多代替了学生思考。可以先 “帮助”少一点,学生想不出再逐步增 加帮助,直到思考出来为止。⑨让学生 考虑多种证法,使思维活动进一步深 入,使教学有深度。例如证明定理“和 一条线段两端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上”,可让学生考 虑辅助线的不同作法,来证两个三角 形全等。还可启发学生在一个三角形 中考虑,用等腰三角形三线合一的定 理证。⑩追求最简单的证法,最自然的 思路,鼓励学生有独立见解,并表扬创 见。(11)教学中尽可能暴露思维过程,让 学生从中学习思维的方法。必要时,对 于很自然地想到,但走不通的思路也 不妨提一下,使学生知道教师也并非 每次分析都行得通。学会在走不通时, 赶紧回头,另辟新径。(12)在分析清证明 的思路,用综合法完成证明时,可能由 师生共同完成。(13)重视定理证明的书 写格式和要求。给学生作出示范。要根 据教学的不同阶段对学生的不同要 求,在书写格式上予以明确,做到条理 清楚,表达准确,严谨而不繁琐。(14)重 视命题间的关系,渗透必要的逻辑知 识。要逐步使学生懂得,一个真命题的 逆命题未必真;互逆的两个命题即使 都是真命题,也是两回事,不可混淆; 而两个互为逆否的命题是同真假的。 (15)及时运用定理、公式,不断深化提 高。要使学生动手、动脑、动口,体会定 理、公式的作用,保持学习的兴趣。要 善于组织和运用教材中的例题、练习、 习题和复习题,循序渐进,从模仿开 始,在掌握了应用定理、公式的基本技 能之后,通过解题训练,进一步加深理 解,积累总结方法和经验,发展分析和 论证的能力,提高思维水平。对于公 式,还要能从左到右,从右到左双向使 用,甚至变形后还能用。(16)要把定理 (公式)整理成系统,更清楚地看出来 龙去脉,地位作用,达到深入掌握,牢 固记忆。整理系统可按纵、横两个方面 进行。纵向,即按定理间的逻辑关系整 理,例如在“两角和与差的三角函数” 一章教学之后,对和角公式、差角公 式、倍角公式、半角公式、积化和差、和 差化积以及万能公式所整理的系统。 横向,即按定理的作用整理。例如在 “平行线”教学后,对有关定理按性质 和判定两类加以小结。有些定理、公式 间的联系,还需要深入一步考察才能 建立。例如,对直线和圆的位置关系中 的相交弦定理、切割线定理,在复习小 结时,可从运动的观点把它们联系起 来,统一成一个圆幂定理。
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