求二元函数极值、最值与条件极值的技能
指根据二元函数极值、最值的定义,极值存在的必要条件、充分条件求二元函数极值、最值的技能,和用拉格朗日乘数法求条件极值的技能等。它有很大的实际应用价值。
求二元函数极值、最值与条件极值技能训练的基本要求和注意点是:①懂得二元函数的极值只可能在驻点(偏导数全为零的点)或偏导数不存在的点取得。但驻点和偏导数不存在的点未必是极值点。②会确定考察极值点的范围:令f′x(x,y)=0,f′y(x,y)=0,解之得驻点,再求出偏导数不存在的点。③掌握判别驻点(x0,y0)是否为极值点的方法:记p(x,y)=[f″xy(x,y)]2-f″xx(x,y)f″yy(x,y)若p(x0,y0)<0,则当f″xx(X0,y0)<0时,f(X0,y0)为极大值;当f″xx(x0,y0)>0时,f(x0,y0)为极小值。若p(x0,y0)>0,则(x0,y0)不是极值点。但如果p(x0,y0)=0则(x0,y0)是否为极值点,需用其它方法,比如由定义来判别。④在f(x,y)的偏导数不存在的点,要从定义直接判别是否为极值点。⑤懂得闭区域上的连续函数必取得最大值和最小值,而最值只可能在驻点、偏导数不存在的点和区域的边界点取得,比较这些点处的函数值,就得出了最大值、最小值。⑥会求二元函数f(x,y)满足约束条件g(x,y)=0的极值(条件极值)。在条件g(x,y)=0可以写成一元显函数形式的特殊情况,会用代入法,把条件极值转化为一元函数的极值来求。一般的,要掌握拉格朗日乘数法:第一,构造拉格朗日函数F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)。第二,求出F′x,F′y。第三,令消去拉格朗日乘数λ,求出方程组的解,即F(x,y)的驻点。f(x,y)的极值可能在这些点处取得。再进一步判别f(x,y)在这些点是否取得极值(参见③)(在一些实际问题中,可根据该问题的意义和特性来判别)。
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