解一元高次方程的技能
指求得实系数一元高次方程的根或其近似值的技能,以及求某些特殊的复系数方程的根的技能等。它是数学中基本的运算技能之一。
解一元高次方程技能训练的基本要求和注意点是:①明确其基本思想是“降次”,即转化为次数较低的方程来解,基本方法是利用因式分解(参见“一元多项式的因式分解”)或利用换元法(参见“换元法”)。②有理系数的一元高次方程要化为整系数方程来解。③会用牛顿试除法求整系数多项式f(x)的有理根:先求出常数项的所有约数u1,u2,…uk(包括负的约数),首项系数的所有约数v1,v2…v1,写出一切可能的ui/vj,再对这有限个ui/vj用综合除法进行试除(参见《综合除法》)。当求得一个有理根后,只要再对商式进行试除。对求得的有理根还要继续试除,以检查是否为重根。当ui/vj很多时,会用以下方法缩小试除的范围:先计算f(1)与f(-1),检查1与-1是否为根。若f(1),f(-1)都不为零,则只需对使商f(1)/1-α,f(-1)/1+α都是整数的α=ui/vj进行试除;若f(1)(或f(-1))为零则可用(x-1)(或(x+1))进行试除,而对所得的商式再考虑以上步骤。在试除过程中,如商式出现分数系数,要知道不需再除下去,所试除的数不是f(x)的根。④懂得在复数范围一元n次方程恰有n个根(n重根就当n个计算)。实系数方程只可能有实根或成对的共轭虚根。并知道,在实际上要求出这些根常很困难,而且并非都能办到。一元三次方程,四次方程有求根公式,但很麻烦,实用价值不大。而五次及五次以上的方程不存在求根公式,即不能把一般的五次及五次以上的方程的解通过系数的有限次加减乘除、乘方、开方表示出来。所能解的只是一些特殊的高次方程。⑤懂得对于实系数一元高次方程,当它的实根不能用上面所述方法方便地求得时,需要求出实根的近似值,这在实际问题中大量存在。知道可以用施图姆方法求得实根的个数,和进行实根的隔离,即把不同的实根分隔在不同的互不交叉的区间内。(施图姆方法可在有关多项式代数的书籍中查到)。⑥会用秦九韶法求实系数一元高次方程f(x)=0实根的近似值:设f(x)没有重根(这不失一般性,因为总可以把一个多项式的重因式去掉,参阅《高等代数》),在区间[c,c+1]内有一个实根α,(c是整数),作变换x=c+y,f(x)变为(y),它有一个根β在0与1之间,α=C+β。把[0,1]分成10个较小的闭区间:[0,0.1]、[0.1,0.2]、…,[0,9,1]。考察(y)在小区间端点的符号,由在两端异号即知β在该小区间内。设β在[0.C1,0,C1+0.1]内,那么C.C1就是α的精确到0.1的近似值。若再作变换y=0.C1+z,则(y)变为(z),它有一个根γ在0与0.1之间,有β=0.C1+γ,从而α=c.c1+γ。再确定γ在[0,0.01],[0.01,0.02]……,[0.09,0.1]中的哪一个内,设γ在[0,0C2,0.0C2+0.01]内,那么C.C1C2就是α精确到0.01的近似值。如此继续,可求得α的达到给定精确度的近似值。并知道上面的变换x=c+y,由f(x)得到(y),可列竖式作连续综合除法容易地得到,⑦会用牛顿法(切线法)求实系数一元高次方程f(x)=0实根的近似值:设f(x)没有重根,它在[a,b]上有一个根α,没有其它根,f′(x)与f″(x)在[a,b]内符号不变,那么f(x)与f″(x)总在[a,b]的一端上有相同的符号,用x0表示这个端点。用y=f(x)上过点(x0,f(x0))的切线和x轴交点的横坐标x1,作为曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标α的近似值,有x1＝重复上述过程,就求得方程f(x)=0的根α的逐次近似值:xi+1知道用如上方法所得的近似值序列x1,x2,……xn,…收敛于α,故可求得α的有事先给定精确度的近似值。⑧会用线性插值法(弦线法,拉格朗日法)求实系数一元高次方程f(x)=0的近似值:设f(x)在[a,b]内只有一个实根,(所要满足的其它条件同“牛顿法”中所述),f″(x)与f(x)总在[a,b]的一个端点上有相异的符号(与牛顿法相反),用x0表示这个端点,作为α的初始近似值(也是以下迭代中的初始值),用A、B分别表示点(a,f(a))与(b,f(b)),以弦线AB代替曲线y=f(x)在AB间的一段,以AB与x轴交点的横座标x1作为曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标α的近似值。重复以上过程,即得α的逐次近似值。若f(a)与f″(a)异号,则取a为x0,迭代公式为:xi+1＝xi-i=0,1,2……若f(b)与f″(b)异号,则取b为x0,迭代公式为;知道用如上方法所得近似值序列x1,x2…xn,…收敛于α,故用弦线法可求出α的有事先给定精确度的近似值。⑨知道在实际计算中,切线法和弦线性可联合使用,它们的近似值序列分别是从曲线的凸与凹的一面单调收敛于α,精确度好估算。⑩知道牛顿法和线性插值法也适用于连续且二阶可导的一元实函数。
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