解线性同余方程的技能

指解含一个未知数的线性同余方程,ax=b(modm)(1)的技能。它是解整数集上问题的重要技能。
解线性同余方程技能训练的基本要求与注意点是:①熟练掌握有解判别法和解的形式:当(a,m)=1时,同余方程(1)有唯一解,它是关于模m的某一个剩余类x≡x₀(modm)。当a,m)=d>1时,若d×b,则同余方程(1)无解,若d|b,a=a₁d,b=b₁d,m=m₁d,则同余方程(1)化为a₁x≡b₁(modm₁)(2)来解。这时(a₁,m₁)=1,(2)有唯一解,记为:x=x₀(modm₁)。要懂得此时(1)与(2)的解集合相同,即x≡x₀(modm₁)中的每一个数都满足同余方程(1),不过,若把它们表为模m的剩余类,则说同余方程(1)关于模m有d个解:x≡x₀,x₀+m₁,x₀+2m₁,…,x₀+(d-1)m₁(modm)
②掌握同余方程(1)的解的公式:
x≡a^(m)-1·b(modm)
其中(m)表示不大于m而与m互素的正整数的个数。 并懂得欧拉函数(m)当(a,m)=1时,有性质a^(m)＝1(modm),知道用公式来实际求解时,一般比较麻烦,因此不常用它。它的作用主要是理论上的。③能把线性同余方程转化为二元一次不定方程来解:因(a,m)=1,故存在并可找到整数u,v使得au+mv=1(参见“解二元一次不定方程的技能”),即有au=1(modm),于是a(bu)=b(modm),故x≡bu(modm)是同余方程(1)的解。④当a,b,m不大时,会用观察法求同余方程(1)的解。不能一下子观察出结果的,会用与m互素的数陆续同乘同余方程的两边,使x的系数的绝对值逐步变小,最后变为1。
例:解11x≡4(mod19)解:两边同乘以2,得22x≡8(mod19)即3x≡8(mod19);
两边同乘以7得:21x≡56(mod19)即2x≡-1(mod19)
两边同乘以10得20x≡-10(mod19)
即x≡9(mod19)
⑤当a,b,m较大,不易观察时,会引入辅助未知数,用如下的办法逐步减小模与系数:把ax≡b(modm)转化为ax=b+my,再转化为my=-b(moda),若得出y₀为其解,那么用代入法就是原同余方程的解
例:解863x≡880(mod2151)
解:由原同余方程得2151y≡-880 (mod863) 即 425y≡ - 880(mod863);由于(5,863)=1,用5除两边得:85y≡-176(mod863)
继续如上的过程,有863z≡176(mod85),即13z≡6(mod85);
85W≡-6 (mod13),即7w≡7(mod13),∴w₀≡1

即x=173(mod2151)是原同余方程的解,因为(863,2151)=1,故只有此唯一解。

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