给出勾股数的技能
指求商高方 程,x2+y2＝z2的整数解的技能所归 结为的求其正整数解的技能。它是求 解整数集上数量关系问题的重要技能 之一。
给出勾股数技能训练的基本要求 是:①懂得给出勾股数,就是给出边长 为正整数的直角三角形。②理解求商 高方程的正整数解归结为只要求得 (x,y)=1时的正整数解。(将这样的 解同时扩大d倍,d为任意正整数,即 可得其它正整数解)。给出一切这样的 解,也就是给出了所有边长为正整数 的、互不相似的直角三角形。③明了在 (x,y)=1的条件下商高方程任一正 整数解中的x,y必定一奇一偶(否则 x,y同奇或同偶都将在商高方程中导 出矛盾)。④熟练掌握给出勾股数的公 式:商高方程的满足(x,y)=1的,(用 x表示偶数的)一切正整数解为:x= 2ab,y=a2-b2,z=a2+b2。其中a,b 为正整数,a>b,(a,b)=1,a,b一奇 一偶。⑤能熟练写出满足给定条件的 所有勾股数。例如,求满足0<z<30 的商高方程的所有互素的正整数解, 要先列出满足a>b>0,(a,b)=1,a, b一奇一偶,且使0<z<30的所有可 能的a,b数组:2,1;3,2;4,1;4,3;5, 2。再由公式得到所有的5组解。
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