求最大公因式的技能
指用多项式 的辗转相除法或利用多项式(大于零 次)的标准分解式求两个多项式的最 大公因式的技能。它是分式运算中约 分的基础。
求最大公因式的基本要求是:① 弄清辗转相除法是普遍适用的方法, 辗转相除要一直除到余式为零,从而 得出最后一个不为零的余式:所求的 最大公因式。②要弄清该技能中的算 理在f(x)=g(x)q(x)+r1(x)(∂(r1(x) <∂(g(x)))中,显然可得(f(x),g(x)) =(g(x),r(x)),继续辗转相除的步 骤,不断简化:
(f(x),g(x))=(g(x),r(x))=(r1 (x),r2(x))=…(rn-1(x),rn(x))=rn (x)从而得出结论。③会通过逐次求 两个非零多项式的最大公因式来求多 个非零多项式的最大公因式(参见“求 最大公约数的技能”),④会利用所给 各多项式(大于零次)的标准分解式求 若干个多项式的最大公因式。要取各 多项式共同的不可约因式,其幂指数 取它在各标准分解式中的最低次数, 所有这样的不可约因式方幂的积才是 所求的最大公因式。并且懂得这一方 法虽十分简便,但其使用有条件,要依 赖于所给多项式的标准分解式。虽然 在理论上,任一大于零次的多项式的 标准分解式都唯一存在,但实际上常 常求不出来。⑤对于求最大公因式的 具体问题,能根据所给多项式或条件 选择恰当的方法。
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