求最大公约数的技能
指用辗转相 除法或利用整数的标准分解式求两个 正整数的最大公约数的技能。它是分 数运算中约分的基础。
求最大公约数的基本要求是:① 弄清辗转相除法是普遍适用的方法,辗转相除要一直除到余数为零,从而得出最后一个不为零的余数:所求的最大公约数,②要弄清该技能中的算理:在a=bq+r1(0<r1<b)中,显然可得(a,b)=(b,r1),使问题得到化简;接下去继续这样的转化,有(b,r1)=(r1,r2)=……,于是得出结论。③会通过逐次求两个正整数的最大公约数而求得多个正整数的最大公约数:(a1,a2)=d1,(a1,a2;a3)=(d1,a3),…,(a1,a2…,an-1,an)=((a1,a2…,an-1),an)④会利用(大于1的)正整数的标准分解式求若干个正整数的最大公约数,要取各正整数共同的质因数,其幂指数取它在各标准分解式中的最低次数,所有这样质因数方幂的积才是所求的最大公约数。并且懂得这一方法虽十分简便,但其使用有条件,要依赖于所给整数可求得标准分解式,而当 一个正整数很大时,求其标准分解式 很困难,甚至不可行。⑤对于求最大公 约数的具体问题,能根据所给数或条 件选择恰当的方法。
求最大公约数的注意点是,求两 个以上正整数的最大公约数时,要掌 握从以上求法衍化出的两种较为简便 的方法:①当所给正整数较小时,可直 接列竖式进行试除,这时要把从小到 大的质数依次作为除数进行试除,找 出能整除所给全部整数的质数,不断 进行如此试除的步骤(每次只要对整 除后所得的商再作试除;对符合要求 试除过的质数还得把它再作除数继续 试除),直至得出的几个商整体互质为 止。要把所有符合要求的除数乘起来, 才得最大公约数;②当所给几个整数 数字较大时,可采取“辗转相减法”,即 可以从任一较大数减去任一较小数的 任意倍数,并可同时作几个减法。
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